Ein brandneues Kapitel! Wir verlassen die Festival-Gelände und VIP-Clubs der Mengenlehre und widmen uns jetzt dem liebsten Hobby aller Mathematiker: Der extremen Schreibfaulheit!
Genau darum geht es nämlich bei Potenzen. Bevor wir uns später auf die 10er-Potenzen und die Prozentrechnung stürzen, müssen wir erst einmal klären, was dieses „Hochstellen“ von Zahlen eigentlich bedeutet.
Inhaltsverzeichnis
Potenzen – Die geniale Abkürzung für schreibfaule Mathematiker
1. Worum geht es hier eigentlich? (Das „Warum“)
Stell dir vor, du sollst \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) aufschreiben. Da fällt dir nach der fünften Aufgabe in der Prüfung die Hand ab!
Weil Mathematiker extrem schreibfaul sind, haben sie dafür eine Abkürzung erfunden: Die Potenz. Anstatt eine Zahl ewig oft mit sich selbst malzunehmen, schreiben sie die Zahl nur ein einziges Mal groß hin und notieren rechts oben klein daneben, wie oft sie mit sich selbst multipliziert werden soll.
2. Die Vokabeln: Basis und Exponent
Eine Potenz besteht immer aus zwei Bausteinen. Nehmen wir als Beispiel \(x^4\):
- Das große \(x\) unten ist die Basis (die Grundzahl). Das ist der Baustein, um den es geht.
- Die kleine \(4\) oben ist der Exponent (die Hochzahl). Sie ist der Chef und sagt der Basis: „Multipliziere dich 4-mal mit dir selbst!“
Die Übersetzung sieht dann so aus:
$$x^2 = x \cdot x$$
$$x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x$$
3. Äpfel mit Äpfeln zusammenzählen!
Hier lauert direkt die erste fiese Falle in der Schularbeit! Was passiert, wenn da plötzlich ein Pluszeichen steht?
Rechne: \(x^2 + x^2\)
Viele Schüler geraten jetzt in Panik und rechnen einfach \(2+2\) bei den Hochzahlen und schreiben \(x^4\). Stopp! Falsch!
Erinnere dich an die Volksschule: 1 Apfel + 1 Apfel = 2 Äpfel.
Wir haben hier einmal einen „\(x^2\)-Apfel“ und bekommen noch einen „\(x^2\)-Apfel“ dazu. Die Form des Apfels (die Hochzahl) verändert sich durch das Plusrechnen überhaupt nicht! Wir haben am Ende einfach nur zwei von dieser Sorte.
Die richtige Lösung lautet also:
$$x^2 + x^2 = 2x^2$$
4. Die magische goldene Regel: Alles hoch Null ist 1!
Jetzt kommt eine Regel, die du einfach stur auswendig lernen musst, weil sie dir in Prüfungen oft als „Fangfrage“ gestellt wird.
Was passiert, wenn die Hochzahl eine Null ist?
\(a^0 = ?\)
Dein Bauchgefühl schreit jetzt vielleicht: „Null! Wenn ich etwas null mal nehme, ist es weg!“ Aber die Mathematik hat hier ein eisernes, magisches Gesetz: Jede Zahl (und jeder Buchstabe) der Welt, die „hoch 0“ gerechnet wird, ergibt IMMER exakt 1.
Lass dich von riesigen Rechnungen also nie wieder einschüchtern:
- \(5^0 = 1\)
- \(1.000.000^0 = 1\)
- \(x^0 = 1\)
- Sogar eine riesige Klammer \((8x \cdot 4y + 17z)^0\) ist am Ende einfach nur 1!
Die Potenz-Gesetze – Warum „Mal“ plötzlich zu „Plus“ wird!
1. Worum geht es hier eigentlich? (Das „Warum“)
Wir wissen jetzt, dass Potenzen (wie \(x^3\)) nur eine schreibfaule Abkürzung für \(x \cdot x \cdot x\) sind. Aber was passiert, wenn wir zwei solche Potenzen miteinander malnehmen oder durcheinander teilen?
Anstatt alles mühsam auszuschreiben, gibt es zwei geniale Abkürzungen. Womöglich hat dein Lehrer dafür den ultimativen Spickzettel in einem einzigen Satz zusammengefasst: „Mal und Plus gehören zusammen, Dividiert und Minus gehören zusammen!“
Was das bedeutet, schauen wir uns jetzt an. (Voraussetzung: Die Basis, also der große Buchstabe unten, muss immer gleich sein!)
2. Gesetz 1: Das „Mal-wird-Plus“-Gesetz
Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst (malrechnest), darfst du ihre kleinen Hochzahlen einfach addieren (plusrechnen).
Die offizielle Formel:
$$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$$
Der Beweis (Warum ist das so?):
Lass uns \(x^3 \cdot x^4\) rechnen.
- Wenn wir das stur ausschreiben, sieht das so aus: \((x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x)\)
- Jetzt zählen wir einfach alle x zusammen. Wie viele sind es? Genau 7 Stück!
- Das schnelle Ergebnis lautet also: \(x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = \mathbf{x^7}\)
3. Gesetz 2: Das „Dividiert-wird-Minus“-Gesetz
Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis dividierst (teilst), darfst du ihre kleinen Hochzahlen einfach subtrahieren (minusrechnen).
Die offizielle Formel:
$$a^n : a^m = a^{n-m}$$
(oder als Bruch geschrieben: \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\))
Der Beweis (Warum ist das so?):
Lass uns \(x^5 : x^3\) rechnen. Wir schreiben es am besten als Bruch auf:
- Oben auf dem Bruchstrich stehen fünf x: \(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x\)
- Unten auf dem Bruchstrich stehen drei x: \(x \cdot x \cdot x\)
- Jetzt dürfen wir „kürzen“ (wegstreichen). Für jedes x unten streichen wir ein x oben weg. Es verschwinden 3 Stück. Wie viele bleiben oben übrig? Genau 2 Stück!
- Das schnelle Ergebnis lautet also: \(x^5 : x^3 = x^{5-3} = \mathbf{x^2}\)
4. Die tödliche Plus/Minus-Falle!
Eine der häufigsten Fragen in der Schularbeit: „Darf ich die Hochzahlen auch zusammenzählen, wenn ein echtes Plus oder Minus in der Rechnung steht?“
Nein, absolut verboten! Erinnere dich an unsere Apfel-Regel von Tag 1. Beim Plus- und Minusrechnen geht es nur darum, Dinge zu zählen. Und du darfst nur zählen, was exakt gleich aussieht. Die Hochzahl (der Exponent) verrät dir die „Sorte“ der Frucht.
Szenario A: Äpfel und Birnen (\(x^3 + x^4\))
- Ein \(x^3\) ist ein Apfel.
- Ein \(x^4\) ist eine Birne. (Sie haben nicht dieselbe Form/Hochzahl!) Du kannst \(x^3 + x^4\) nicht weiter zusammenfassen. Es bleibt einfach \(x^3 + x^4\).
Szenario B: Zwei gleiche Äpfel (\(x^3 + x^3\))
- Ein \(x^3\) ist ein Apfel.
- Das zweite \(x^3\) ist exakt derselbe Apfel!Jetzt dürfen wir sie zählen: 1 Apfel + 1 Apfel = 2 Äpfel.Das Ergebnis ist \(2x^3\).
⚠️ Die goldene Regel: Fällt dir etwas auf? Die Hochzahl hat sich nicht verändert! Sie bleibt eine 3. Wenn du Plus oder Minus rechnest, änderst du nur die große Zahl vorne dran (die Menge), aber niemals die kleine Zahl oben!
Die Regel „Hochzahlen addieren oder subtrahieren“ gilt wirklich NUR, wenn unten ein Mal- oder Geteilt-Zeichen steht!
5. Selber testen: Werde zum Potenz-Meister!
Wende die gelernte Regel an (Mal \(\rightarrow\) Plus / Dividiert \(\rightarrow\) Minus). Aber pass auf, ob sich nicht irgendwo eine Falle versteckt hat!
- Rechne: \(y^8 \cdot y^2\)
- Rechne: \(z^{10} : z^4\)
- Rechne: \(a^5 + a^2\)
Schritt-für-Schritt Lösungen:
- Zu 1: Gleiche Basis (\(y\)) und ein Mal-Zeichen in der Mitte. Wir dürfen die Hochzahlen plusrechnen! \(8 + 2 = 10\). Ergebnis: \(y^{10}\)
- Zu 2: Gleiche Basis (\(z\)) und ein Geteilt-Zeichen in der Mitte. Wir müssen die Hochzahlen minusrechnen! \(10 – 4 = 6\). Ergebnis: \(z^6\)
- Zu 3: FALLE! Hier steht ein Plus in der Mitte. Wir haben Äpfel (\(a^5\)) und Birnen (\(a^2\)). Wir dürfen die Hochzahlen auf keinen Fall addieren! Ergebnis: Es lässt sich nicht weiter berechnen, es bleibt einfach \(a^5 + a^2\).
Das Potenzieren von Potenzen oder Die Doppel-Hoch-Regel – Wenn sich zwei Hochzahlen treffen
1. Worum geht es hier eigentlich? (Das „Warum“)
Bisher hatten unsere Basis-Zahlen immer nur einen Chef (eine Hochzahl). Aber was passiert, wenn eine Potenz in eine Klammer gesteckt wird und ganz außen noch ein zweiter Chef wartet?
Das sieht dann zum Beispiel so aus: \((x^2)^3\)
Hier treffen zwei Hochzahlen (die 2 und die 3) direkt aufeinander, nur getrennt durch die Klammer.
Die offizielle Formel lautet:
$$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$$
(Du musst die beiden kleinen Zahlen einfach malrechnen!)
2. Der Beweis: Warum ist das so?
Wir glauben in der Mathematik nichts, was wir nicht selbst bewiesen haben. Lass uns \((x^2)^3\) knacken!
- Die 3 ganz außen ist der oberste Boss. Sie sagt: „Schreibe die gesamte Klammer dreimal hin und nimm sie mal!“
- Wir machen, was der Boss sagt: \((x^2) \cdot (x^2) \cdot (x^2)\)
- Und jetzt greift unser Gesetz von vorhin („Mal wird Plus“): Wir haben die gleiche Basis (\(x\)) und Mal-Zeichen dazwischen. Wir dürfen die Hochzahlen also addieren!
- Rechnung: \(2 + 2 + 2 = 6\).
- Das Ergebnis ist \(x^6\).
Fällt dir etwas auf? Anstatt mühsam \(2+2+2\) zu rechnen, hätten wir auch einfach sofort die Abkürzung \(2 \cdot 3 = 6\) nehmen können!
3. Die Stockwerk-Eselsbrücke 🏢
Um in der Schularbeit nicht zwischen Plus und Mal durcheinanderzukommen, merk dir dieses Bild:
Die Stockwerk-Regel („Doppel-Hoch wird Mal“):
Stell dir die Klammer wie die Zimmerdecke in einem Haus vor. Die innere Hochzahl wohnt im 1. Stock, die äußere Hochzahl im 2. Stock. Wenn zwei kleine Zahlen direkt übereinander wohnen (nur getrennt durch die Klammer), dann multiplizieren sie sich!
„Doppel-Hoch wird Mal!“
4. Selber testen: Werde zum Stockwerk-Manager!
Wende unsere neue Regel an. Denk daran: Sobald zwei Hochzahlen durch eine Klammer getrennt direkt nebeneinander stehen, wird aus ihnen eine Malrechnung! (Und Achtung, bei Aufgabe 3 habe ich einen alten Bekannten versteckt 😉).
Rechne diese 3 Beispiele aus:
- \((y^4)^3\)
- \((z^5)^2\)
- \((a^2)^0\)
Lösung zu 1: \((y^4)^3\)
- Die Analyse: Doppel-Hoch! Die 4 und die 3 wohnen übereinander. Die Stockwerk-Regel sagt: Wir müssen sie malrechnen!
- Die Rechnung: \(4 \cdot 3 = 12\)
- Das Ergebnis: \(y^{12}\)
Lösung zu 2: \((z^5)^2\)
- Die Analyse: Wieder ein Doppel-Hoch. Die Klammer trennt die 5 und die 2. Wir rechnen mal!
- Die Rechnung: \(5 \cdot 2 = 10\)
- Das Ergebnis: \(z^{10}\)
Lösung zu 3: \((a^2)^0\)
- Die Analyse: Wir haben eine 2 und eine 0. Wir wenden stur unsere Stockwerk-Regel an und rechnen mal: \(2 \cdot 0 = 0\).
- Unser Zwischenergebnis ist also \(a^0\).
- Die Falle: Klingelt da was? Erinnere dich an den Anfang der Lektion! Alles auf der Welt, was „hoch Null“ gerechnet wird, ergibt exakt 1.
- Das Ergebnis: 1 (Du hättest auch gleich von Anfang an sagen können: Da ganz außen ein „hoch 0“ steht, wird die komplette Klammer sofort zu 1!)
Das große Wurzel-Geheimnis und die Sprinkler-Regel
1. Die große Enthüllung: Wurzeln sind nur getarnte Brüche!
Viele Schüler bekommen Panik, wenn plötzlich ein Wurzel-Zeichen in der Rechnung auftaucht. Aber weißt du was? Wurzeln sind eigentlich nur eine optische Täuschung. Sie sind Potenzen mit einem Bruch als Hochzahl.
Nehmen wir die ganz normale Quadratwurzel aus \(x\):
$$\sqrt{x}$$
Mathematiker sind – wie wir wissen – extrem schreibfaul. Eigentlich stehen bei dieser normalen Wurzel noch zwei unsichtbare Zahlen dabei, die aber jeder weglässt, weil sie „Standard“ sind:
- Es ist die 2. Wurzel (weil Quadratwurzel).
- Das \(x\) im Inneren ist eigentlich ein \(x^1\).
Wenn wir die unsichtbaren Zahlen dazuschreiben, sieht das so aus: \(\sqrt[2]{x^1}\)
Die „Wurzel-in-den-Keller“-Regel:
Wenn wir dieses Zeichen jetzt loswerden und in eine ganz normale Potenz umschreiben wollen, machen wir aus der Hochzahl einen Bruch.
Die eiserne Regel dabei lautet: Der Grad der Wurzel (die Zahl draußen) wandert immer nach unten in den Keller (in den Nenner des Bruchs). Die Hochzahl von drinnen wandert nach oben auf das Dach (in den Zähler).
Aus \(\sqrt[2]{x^1}\) wird also:
$$x^{\frac{1}{2}}$$
Ein weiteres Beispiel:
Was ist mit \(\sqrt[4]{x^3}\)?
Die Wurzel (die 4) muss in den Keller unter den Bruchstrich. Die 3 geht nach oben.
Ergebnis: \(x^{\frac{3}{4}}\)
2. Die „Sprinkler“-Regel bei Klammern
Jetzt kombinieren wir mehrere Dinge in einer Klammer. Was passiert, wenn ganz außen an einer Klammer eine Hochzahl steht und drinnen ein bunter Mix aus Zahlen und Buchstaben wartet?
Beispiel:
$$(2x^2y)^4$$
Stell dir die äußere Hochzahl 4 wie eine Sprinkleranlage an der Zimmerdecke vor. Wenn sie losgeht, macht sie alles nass, was in der Klammer steht. Sie wirkt auf absolut jeden einzelnen Teil!
- Sie trifft die 2 \(\rightarrow\) \(2^4\)
- Sie trifft das \(x^2\) \(\rightarrow\) \((x^2)^4\) wird zu \(x^8\) (unsere Doppel-Hoch-Regel von gestern!)
- Sie trifft das \(y\) \(\rightarrow\) \(y^4\) (Zur Erinnerung: Ein einzelnes \(y\) ist eigentlich ein \(y^1\). Und \(1 \cdot 4 = 4\))
Das fertige Ergebnis lautet:
$$2^4 x^8 y^4$$
(Hinweis: \(2^4\) könnte man jetzt noch ausrechnen, das wäre 16. Also \(16 x^8 y^4\).)
📐 Die Ordnungs-Regel der Mathematik:
Damit Ergebnisse immer gleich und aufgeräumt aussehen, gilt weltweit folgende Sortier-Vorschrift: Zuerst kommt die Zahl, danach kommen die Buchstaben streng nach dem Alphabet! (Deshalb \(x\) vor \(y\)).
3. Der Sprinkler funktioniert auch bei Brüchen!
Genau das Gleiche passiert, wenn in der Klammer ein Bruch steht. Die Sprinkleranlage macht oben das Dach (Zähler) nass und unten den Keller (Nenner).
Beispiel:
$$\left(\frac{2a}{b^3}\right)^3$$
Die äußere 3 wirkt auf jeden einzelnen Teil:
- Oben wird die 2 getroffen \(\rightarrow\) \(2^3\)
- Oben wird das \(a\) getroffen \(\rightarrow\) \(a^3\)
- Unten wird das \(b^3\) getroffen \(\rightarrow\) \((b^3)^3\) wird zu \(b^9\) (Doppel-Hoch-Regel!)
Das fertige Ergebnis lautet:
$$\frac{2^3 a^3}{b^9}$$
4. Die gefährlichste Falle in der Schularbeit!
Wenn du bei \((2x^2y)^4\) die Klammer auflöst, gibt es einen Fehler, den fast 50 % aller Schüler in der Hektik der Prüfung machen.
Der falsche Weg: \(2x^8y^4\)
Siehst du den Fehler? Der Schüler hat den Sprinkler auf die Buchstaben angewendet (aus der 2 wurde eine 8, das y bekam die 4). Aber er hat die Zahl 2 ganz vorne vergessen! Unser Gehirn konzentriert sich beim Rechnen mit Potenzen so stark auf die Buchstaben, dass es „normale“ Zahlen gerne übersieht und sie einfach unverändert abschreibt.
Merk dir: Die große Zahl vorne ist kein Zuschauer! Sie kriegt genauso eine Ladung vom Sprinkler ab wie die Buchstaben. Vergiss niemals, die Zahl mit zu potenzieren! Hinweis: Die Lösung dazu steht oben bei „2. Die „Sprinkler“-Regel bei Klammern“
Der Kehrwert – Das Geheimnis der negativen Hochzahlen
1. Worum geht es hier eigentlich? (Das „Warum“)
Hast du dich schon mal gefragt, wie Mathematiker Brüche aufschreiben, wenn sie eigentlich gar keine Lust haben, einen Bruchstrich zu zeichnen? Sie benutzen einen Trick: den Kehrwert.
Der Kehrwert stellt einen Bruch einfach auf den Kopf. Was unten im Keller war (Nenner), kommt nach oben aufs Dach (Zähler) – und umgekehrt. Das ist extrem nützlich, um komplizierte Bruchrechnungen in eine ganz normale, flache Zeile zu verwandeln.
Und das genialste Werkzeug für diesen Fahrstuhl-Trick ist ein negativer Exponent (eine Hochzahl mit einem Minus davor).
2. Der Beweis: Woher kommt das Minus?
Lass uns das logisch herleiten. Wir starten mit einem ganz normalen Bruch:
$$\frac{1}{a^n}$$
Jetzt wenden wir zwei unserer alten Gesetze an, um diesen Bruchstrich verschwinden zu lassen:
- Der \(a^0\)-Trick: Erinnere dich an vorher! Die Zahl 1 ist dasselbe wie \(a^0\) (alles hoch null ist eins). Wir tauschen die 1 oben also einfach aus:
$$\frac{a^0}{a^n}$$ - Die „Dividiert-wird-Minus“-Regel: Ein Bruchstrich ist ja nichts anderes als ein Geteilt-Zeichen. Und was passiert, wenn wir Potenzen dividieren? Wir müssen die Hochzahlen abziehen! Wir rechnen also oben minus unten (\(0 – n\)):
$$a^{0-n}$$ - Das Ergebnis: Was ist null minus n? Einfach \(-n\)!
$$a^{-n}$$
Die offizielle Regel lautet also:
$$\frac{1}{a^n} = a^{-n}$$
(Lies: Der Kehrwert einer Potenz kann ganz einfach mit einem negativen Exponenten geschrieben werden!)
3. Die Fahrstuhl-Regel 🛗
Lass dich von dem Minus in der Hochzahl nie wieder täuschen! Ein \(x^{-3}\) ist keine negative Zahl. Es ist einfach nur ein Befehl des Türstehers:
„He, du stehst auf der falschen Etage! Nimm den Fahrstuhl und fahr auf die andere Seite des Bruchstrichs!“
- Steht das \(x^{-3}\) oben, heißt das: Fahr in den Keller! \(\rightarrow \frac{1}{x^3}\)
- Steht das \(x^{-3}\) unten im Keller, heißt das: Fahr hoch aufs Dach! \(\rightarrow x^3\)Sobald die Zahl den Fahrstuhl benutzt hat und auf der anderen Seite angekommen ist, verschwindet das Minus, und die Hochzahl wird wieder positiv.
4. Schritt für Schritt: Dein Praxis-Beispiel
Schauen wir uns dein Beispiel an:
$$\frac{2}{a^3}$$
Wir wollen diesen Bruchstrich loswerden und alles in eine schöne, flache Zeile schreiben. Wer muss hier den Fahrstuhl benutzen?
- Die 2 steht schon oben auf dem Dach. Sie hat keine negative Hochzahl, also darf sie ganz entspannt dort oben stehen bleiben.
- Das \(a^3\) hockt unten im Keller. Wir wollen es nach oben holen. Der Fahrstuhl-Befehl dafür ist das Minus in der Hochzahl! Aus dem \(a^3\) unten wird also ein \(a^{-3}\) oben.
Das fertige, bruchfreie Ergebnis lautet:
$$2a^{-3}$$
Hast du das verstanden? Nein? Ok, lass uns in die echte Welt gehen!
Wenn du nach den letzten Sätzen dachtest: „Hä? Ein Fahrstuhl? Ein Minus? Warum sollte eine Zahl durch ein Minus plötzlich zu einem Bruch werden?“, dann bist du völlig normal!
Lass uns die Mathe-Sprache verlassen und in die echte Welt gehen. Stell dir vor, wir reden über Pizzen.
- Was bedeuten \(2^3\) Pizzen? Das sind \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) Pizzen. Eine ordentliche Party!
- Was bedeuten \(2^1\) Pizzen? Das sind einfach nur 2 Pizzen.
- Was bedeuten \(2^0\) Pizzen? Erinnere dich an den Anfang: Alles hoch null ist 1. Das ist exakt 1 Pizza.
Wir werden also immer weniger. Und was kommt jetzt, wenn wir noch tiefer gehen? Richtig, die negativen Hochzahlen!
- Was bedeuten \(2^{-1}\) Pizzen? Das Minus drückt die Zahl in den Keller unter den Bruchstrich. Aus \(2^{-1}\) wird also \(\frac{1}{2^1}\). Und das ist einfach \(\frac{1}{2}\) (eine halbe) Pizza!
- Was bedeuten \(2^{-2}\) Pizzen? Das rutscht in den Keller zu \(\frac{1}{2^2}\). Da \(2 \cdot 2 = 4\) ist, ist das genau \(\frac{1}{4}\) (eine viertel) Pizza.
Der Klick-Moment: Merkst du was? Das Minus in der Hochzahl macht deine Pizza nicht „negativ“. Du hast keine Schulden bei der Pizzeria! Es bedeutet einfach nur, dass du anfängst, die Pizza in kleine Stücke zu teilen. Ein negativer Exponent ist also immer ein verstecktes Geteilt-Zeichen (ein Bruch).
6. Lass uns das üben: 3 schnelle Fahrstuhl-Fahrten
Hier sind 3 konkrete Beispiele, bei denen wir Brüche auflösen oder erschaffen. Versuch sie selbst zu lösen, bevor du nach unten scrollst!
Aufgabe 1 (Aus Minus mach Bruch): Schreibe als Bruch (ohne Minus in der Hochzahl) und rechne es aus: \(3^{-2}\)
Aufgabe 2 (Aus Bruch mach Minus): Schreibe in eine flache Zeile (ohne Bruchstrich): \(\frac{1}{x^5}\)
Aufgabe 3 (Der Mix): Schreibe in eine flache Zeile (ohne Bruchstrich): \(\frac{7}{y^4}\)
Lösung 1: \(3^{-2}\)
- Die 3 steigt in den Fahrstuhl nach unten in den Keller. Oben bleibt nur die 1 zurück.
- Es entsteht der Bruch \(\frac{1}{3^2}\).
- Da wir wissen, dass \(3 \cdot 3 = 9\) ist, lautet das Endergebnis: \(\frac{1}{9}\) (ein Neuntel).
Lösung 2: \(\frac{1}{x^5}\)
- Das \(x^5\) hockt unten im Keller und will hoch ins Erdgeschoss, damit der Bruchstrich verschwindet.
- Dafür muss es das „Minus-Ticket“ ziehen. Die Hochzahl wird negativ.
- Das Endergebnis lautet: \(x^{-5}\)
Lösung 3: \(\frac{7}{y^4}\)
- Die 7 steht schon oben auf dem Dach, sie bleibt dort ganz gemütlich stehen.
- Das \(y^4\) kommt aus dem Keller nach oben. Es zieht sein Ticket und wird zu \(y^{-4}\).
- Beide stehen jetzt nebeneinander im Erdgeschoss. Das Endergebnis lautet: \(7y^{-4}\)
